1.                  REGRESI LINIER SEDERHANA

1.         Hubungan Antarvariabel

Hubungan antarvariabel dapat berupa hubungan linier ataupun hubungan tidak linier. Misalnya, berat badan laki-laki  dewasa sampai pada taraf tertentu bergantung pada tinggi badan, keliling lingkaran bergantung pada diameternya, dan tekanan gas bergantung pada suhu dan volumenya. Hubungan-hubungan itu bila dinyatakan dalam bentuk matematis akan memberikan persamaan-persamaaan tertentu.

Untuk dua variable, hubungan liniernya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linier, yaitu:

        

Keterangan :

Y, X = variabel

a, b  = bilangan konstan (konstanta)

Hubungan antara dua variabel pada persamaan linier jika digambarkan secara grafis (scatter diagram), semua nilai Y dan X akan berada pada suatu garis lurus. Dalam ilmu ekonomi, garis itu disebut garis regresi.

Karena antara Y dan X memiliki hubungan, maka nilai  X dapat digunakan untuk menduga atau meramal nilai Y. Dalam hal ini, X disebut variabel bebas, yaitu variabel yang nilai-nilainya bergantung pada variabel lain.

    Hubungan antarvariabel yang akan dipelajari disini hanyalah hubungan linier sederhana, yaitu hubungan yang hanya melibatkan dua variabel (X dan Y) dan berpangkat satu.

2. Persamaan Garis Regresi Linier Sederhana

Regresi yang berarti peramalan, penaksiran, atau pendugaan pertama kali diperkenalkan pada tahun 1877 oleh Sir Francis Galton (1822-1911) sehubungan dengan penelitiannya terhadap tinggi manusia. Penelitian tersebut membandingkan antara tinggi anak laki-laki dan tinggi badan ayahnya.

Analisis regresi juga digunakan untuk menentukan bentuk hubungan antar variabel. Tujuan utama dalam penggunaan analisis itu adalah untuk meramalkan atau memperkirakan nilai dari satu variabel dalam hubungannya dengan variabel yang lain yang diketahui melalui persamaan garis regresinya.

Untuk populasi, persamaan garis regresi linier sederhananya dapat dinyatakan dalam bentuk:

Keterangan:

 rata-rata Y bagi X tertentu.

 konstanta atau parameter atau koefisien regresi populasi

Karena populasi jarang diamati secara langsung, maka digunakan persamaan regresi linier sederhana sampel sebagai penduga persamaan regresi linier sederhana populasi. Bentuk persamaannya adalah

Keterangan:

   = penduga bagi

 variabel terikat (variabel yang diduga)

  = variabel bebas (variabel yang diketahui)

 = penduga parameter A dan B = koefisien regresi sampel

         = intersep (nilai Y, bila X = 0)

         = slop (kemiringan garis regresi)

Persamaan  memberikan arti jika variabel X mengeluarkan satu satuan maka variabel Y akan mengalami peningkatan atau penurunan sebesar 1  b.

Untuk membuat peramalan, penaksiran, atau pendugaan dengan persamaan regresi, maka nilai  dan b harus ditentukan terlebih dahulu. Dengan metode kuadrat terkecil (least square), nilai  dan b dapat ditentukan dengan rumus berikut.

2.                  PENDUGAAN DAN PENGUJIAN KOEFISIEN REGRESI

2.1  Kesalahan Baku Regresi dan Koefisien Regresi Sederhana

Kesalahan baku atau selisih taksir standar merupakan indeks yang digunakan untuk mengukur tingkat ketepatan regresi (pendugaan) dan koefisien regresi (penduga) atau mengukur variasi titik-titik observasi di sekitar garis regresi. Dengan kesalahan baku, batasan seberapa jauh melesetnya perkiraan kita dalam meramal data dapat diketahui. Apabila semua titik observasi berada tepat pada garis regresi maka kesalahan baku akan bernilai sama dengan nol. Hal itu berarti perkiraan yang kita lakukan terhadap data sesuai dengan data yang sebenarnya,

Berikut ini rumus-rumus yang secara langsung digunakan untuk menghitung kesalahan baku regresi dan koefisien regresi.

1.   Untuk regresi, kesalahan bakunya dirumuskan:

2.   Untuk koefisien regresi  (penduga ), kesalahan bakunya dirumuskan:

3.   Untuk koefisien regresi  (penduga ), kesalahan bakunya dirumuskan:

2.2  Pendugaan Interval Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pendugaan interval bagi parameter A dan B menggunakan distribusi t dengan derajat kebebasan (db) = n – 2.

1.   Pendugaan interval untuk parameter A

Untuk parameter A, pendugaan intervalnya menggunakan:

Atau dalam bentuk sederhana:

Artinya: dengan interval keyakinan  dalam jangka panjang, jika sampel diulang-ulang,  kasus pada interval  sampai dengan interval  akan berisi A yang benar.

2.   Pendugaan interval untuk parameter B

Untuk parameter B, pendugaan intervalnya dirumuskan:

Atau dalam bentuk sederhana:

Artinya: dengan interval keyakinan  dalam jangka panjang, jika sampel diulang-ulang,  kasus pada interval  sampai dengan interval  akan berisi B yang benar.

2.3  Pengujian Hipotesis Koefisien Regresi (Parameter A dan B)

Pengujian hipotesis bagi parameter A dan B menggunakan uji t, dengan langkah-langkah pengujian sebagai berikut:

1.     Menentukan formula hipotesis

1.                    Untuk parameter A:

2.                    Untuk parameter B:

,  mewakili nilai B tertentu, sesuai hipotesisny.

, jika , berarti pengaruh X terhadap Y adalah positif.

, jika , berarti pengaruh X terhadap Y adalah negatif.

, jika , berarti X mempengaruhi Y.

3.   Menentukan taraf nyata ( ) dan nilai t tabel.

Taraf nyata dan nilai t tabel ditentukan dengan derajat bebas (db) = n – 2.

4.     Menentukan kriteria pengujian

1.                   diterima apabila

 ditolak apabila

2.                   diterima apabila

 ditolak apabila

3.                   diterima apabila

 ditolak apabila  atau

4.     Menentukan nilai uji statistik

1.        Untuk parameter A

2.        Untuk parameter B

3.     Membuat kesimpulan

Menyimpulkan apakah  diterima atau ditolak.

Catatan:

1.                  Dari kedua koefisien regresi A dan B, koefisien regresi B, yaitu koefisien regresi sebenanya adalah yang lebih penting, karena dari koefisien ini, ada atau tidak adanya pengaruh X terhadap Y dapat diketahui.

2.                  Khusus untuk koefisien regresi B, pengujian hipotesisnya dapat juga dirumuskan sebagai berikut:

3.                  PERAMALAN (PREDIKSI)

 sebagai penduga memiliki nilai yang mungkin sama atau tidak sama dengan nilai sebenarnya. Untuk membuat  sebagai penduga yang dapat dipercaya, maka dibuat pendugaan bagi Y dengan menggunakan penduga  itu sendiri. Dengan demikian,  sebagai penduga dapat digunakan sebagai peramalan atau prediksi.

Ada tiga bentuk peramalan sehubungan dengan penduga  tersebut, yaitu sebagai berikut.

3.1Peramal Tunggal

Peramalan tunggal atau prediksi titik dirumuskan:

3.2 Peramalan Interval Individu

Peramalan interval individu atau prediksi interval bagi Y dirumuskan:

 = nilai  untuk X = X₀

3.3 Peramalan Interval Rata-rata

Peramalan interval rata-rata atau prediksi interval bagi E(Y) dirumuskan:

4.                  KOEFISIEN KORELASI LINIER SEDERHANA

4.1 Pengertian Koefisien Korelasi (KK)

Koefisien korelasi merupakan indeks atau bilangan yang digunakan untuk mengukur keeratan (kuat, lemah, atau tidak ada) hubungan antarvariabel.

Koefisien korelasi ini memiliki nilai antara -1 dan +1 .

1.                  Jika KK bernilai positif, maka variabel-variabel berkorelasi positif. Semakin dekat nilai KK ini ke +1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.

2.                  Jika KK bernilai negatif, maka variabel-variabel berkolerasi negatif. Semakin dekat nilai KK ini ke -1 semakin kuat korelasinya, demikian pula sebaliknya.

3.                  Jika KK bernilai 0 (nol), maka variabel-variabel tidak menunjukkan korelasi.

4.                  Jika KK bernilai +1 atau -1, maka variabel menunjukkan korelasi positif atau negatif yang sempurna.

Untuk menentukan keeratan hubungan/korelasi antarvariabel tersebut, berikut ini diberikan nilai-nilai dari KK sebagai patokan>

1.      KK = 0, tidak ada korelasi.

2.      0 < KK  0,20, korelasi sangat rendah/lemah sekali.

3.      0,20 < KK  0,40, korelasi rendah/lemah tapi pasti.

4.      0,40 < KK  0,70, korelasi yang cukup berarti/sedang.

5.      0,70 < KK  0,90, korelasi yang tinggi/kuat.

6.      0,90 < KK < 1,00, korelasi sangat tinggi; kuat sekali, dapat diandalkan.

7.      KK = 1, korelasi sempurna.

4.2Jenis-jenis Koefisien Korelasi

Jenis-jenis koefisien korelasi yang sering digunakan adalah koefisien korelasi Pearson, koefisien korelasi Rank Spearman, koefisien korelasi Konteingensi, dan koefisien penentu (KP).

1.      Koefisien Korelasi Perason

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data interval atau rasio. Disimbolkan dengan r dan dirumuskan:

Nilai dari koefisien korelasi (r) terletak antara -1 dan +1 .

1.      Jika r = +1, terjadi korelasi positif sempurna antara variabel X dan Y.

2.      Jika r = -1, terjadi korelasi negatif sempurna antara variabel X dan Y.

3.      Jika r = 0, tidak terdapat korelasi antara variabel X dan Y.

4.      Jika 0 <r< +1, terjadi korelasi positif antara variabel X dan Y.

5.      Jika -1 <r< 0, terjadi korelasi negatif antara variabel X dan Y.

2.      Koefisien Korelasi Rank Spearman

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data ordinal (data bertingkat). Disimbolkan dengan r_s dan dirumuskan:

Keterangan:

d = selisih ranking X dan Y

n = banyaknya pasangan data

3.      Koefisien Korelasi Kontingensi

Koefisien korelasi ini digunakan untuk mengukur keeratan hubungan antara dua variabel yang datanya berbentuk data nominal (data kualitatif). Disimbolkan dengan C dan dirumuskan:

Keterangan:

 = kai kuadrat

 = jumlah semua frekuensi

4.      Koefisien Penentu (KP) atau Koefisien Determinasi(R)

Apabila koefisien korelasi dikuadratkan, akan menjadi koefisien penentu (KP) atau koefisien determinai, yang artinya penyebab perubahan pada variabel Y yang datang dari variabel X, sebesar kuadrat koefisien korelasinya. Koefisien penentu ini menjelaskan besarnya pengaruh nilai suatu variabel (variabel X) terhadap naik/turunnya (variasi) nilai variabel lainnya (variabel Y). Dirumuskan:

Keterangan:

KK = koefisien korelasi

Nilai koefisien penentu ini terletak antara 0 dan +1 . Jika koefisien korelasinya adalah koefisien korelasi Pearson (r), maka koefisien penentunya adalah:

Dalam bentuk rumus, koefisien penentu (KP) dituliskan:

5.                  HUBUNGAN KOEFISIEN KORELASI DENGAN KOEFISIEN REGRESI

Antara koefisien korelasi (r) dan koefisien regresi (b), terdapat hubungan. Hubungan tersebut dalam bentuk rumus dituliskan:

6.                  PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESIS KOEFISIEN KORELASI POPULASI ( )

Koefisien korelasi populasi dari variabel X dan Y yang keduanya merupakan variabel random dan memiliki distribusi bivariat, dirumuskan:

Cov (X,Y) =  = E(XY) – E(X). E(Y)

Dalam prakteknya, koefisien korelasi populasi ( ) tidak diketahui, namun dapat diduga dengan koefisien korelasi sampel (r). Dengan demikian,r merupakan penduga dari .

6.1 Pendugaan Koefisien Korelasi Populasi

Pendugaan koefisien korelasi populasi (interval keyakinan ) menggunakan distribusi Z. Pendugaannya dapat dilakukan dengan terlebih dahulu mengubah koefisien korelasi sampel r menjadi nilai Z_r, yang dalam bentuk persamaan dituliskan:

Variabel Z_r akan mendekati distribusi normal dengan rata-rata dan varians sebagai berikut:

Untuk , pendugaan intervalnya secara umum dirumuskan:

Atau:

Dengan melakukan transformasi nilai , maka diperoleh pendugaan interval bagi koefisien korelasi populasi ( ) dengan tingkat keyakinan .

Selain menggunakan pendugaan interval , interval bagi koefisien korelasi populasi ( ) dapat pula dibuat dengan menggunakan tabel hubungan antara Z_r dan r.

6.2 Pengujian Hipotesis Koefisien Korelasi Populasi ( )

1.      Untuk asumsi 𝝆=𝟎

Pengujian hipotesis dengan asumsi  menggunakan distribusi t sebagai uji statistiknya. Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut:

1.      Menentukan formula hipotesis

 (tidak ada hubungan antara X dan Y)

 (ada hubungan positif)

 (ada hubungan negatif)

 (ada hubungan)

2.       Menentukan taraf nyata ( ) bserta t tabel, dengan derajat bebas (db)=n-2

atau

3.      Menentukan kriteria pengujian

1.      Untuk  dan  :

1.                   diterima jika ,

2.                   ditolak jika

3.      Untuk  dan  :

1.                   diterima jika ,

2.                   ditolak jika

3.      Untuk  dan :

1.       diterima jika ,

2.       ditolak jika  atau

3.      Menentukan nilai uji statistik

4.      Membuat kesimpulan

Menyimpulkan  diterima atau ditolak (sesuai dengan kriteria pengujian).

5.      Untuk asumsi

Pengujian hipotesis dengan asumsi  menggunakan distribusi Z sebagai uji statistiknya. Prosedur pengujiannya adalah sebagai berikut:

1.      Menentukan formula hipotesis

 ( )

 ( )

 ( )

 ( )

2.      Menentukan taraf nyata ( ) beserta Z tabel

atau

3.      Menentukan kriteria pengujian

1.      Untuk  dan  :

1.                   diterima jika ,

2.                   ditolak jika

2.  Untuk  dan  :

1.                   diterima jika ,

2.                   ditolak jika

3.      Untuk  dan :

1.                   diterima jika ,

2.                   ditolak jika  atau

3.      Menentukan nilai uji statistik

4.      Membuat kesimpulan

Menyimpulkan H₀ diterima atau ditolak (sesuai dengan kriteria pengujian).

7.                  REGRESI DAN KORELASI LINEAR DATA BERKELOMPOK

7.1 Regresi Linier Data Berkelompok

Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel (data berkelompok dengan dua veriabel), persamaan regresi linearnya berbentuk:

Dengan

Keterangan:

M = rata-rata hitung sementara, biasanya diambil titik tengah dengan frekuensi terbesar.

 = interval kelas X

  = interval kelas Y

 = frekuensi kelas X

 = frekuensi kelas Y

7.2 Koefisien Korelasi Linier Data Berkelompok

Untuk data yang tersusun dalam distribusi frekuensi bivariabel, koefisien korelasinya dirumuskan:

DAFTAR PUSTAKA

Hasan, Ikbal. 2003. Pokok-pokok Materi Statistik 2. Jakarta: Bumi Aksara.

Sudjana. 2005. Metoda Statistika. Bandung: Tarsito