ANOVA

Pengertian Anova

Anava atau Anova adalah sinonim dari analisis varians terjemahan dari analysis of variance, sehingga banyak orang menyebutnya dengan anova. Anova merupakan bagian dari metoda analisis statistika yang tergolong analisis komparatif lebih dari dua rata-rata (Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta).

Analisis Varians (ANAVA) adalah teknik analisis statistik yang dikembangkan dan diperkenalkan pertama kali oleh Sir R. A Fisher (Kennedy & Bush, 1985). ANAVA dapat juga dipahami sebagai perluasan dari uji-t sehingga penggunaannya tidak terbatas pada pengujian perbedaan dua buah rata-rata populasi, namun dapat juga untuk menguji perbedaan tiga buah rata-rata populasi atau lebih sekaligus.

Jika kita menguji hipotesis nol bahwa rata-rata dua buah kelompok tidak berbeda, teknik ANAVA dan uji-t (uji dua pihak) akan menghasilkan kesimpulan yang sama; keduanya akan menolak atau menerima hipotesis nol. Dalam hal ini, statistik F pada derajat kebebasan 1 dan n-k akan sama dengan kuadrat dari statistik t.

ANAVA digunakan untuk menguji perbedaan antara sejumlah rata-rata populasi dengan cara membandingkan variansinya. Pembilang pada rumus variansi tidak lain adalah jumlah kuadrat skor simpangan dari rata-ratanya, yang secara sederhana dapat ditulis sebagai ∑▒〖(X_i-μ)〗^2 . Istilah jumlah kuadrat skor simpangan sering disebut jumlah kuadrat (sum of squares). Jika jumlah kuadrat tersebut dibagi dengan n atau n-1 maka akan diperoleh rata-rata kuadrat yang tidak lain dari variansi suatu distribusi. Rumus untuk menentukan varians sampel yaitu,

S^2=(∑_(i=1)^n▒〖(Y_1-Y ̅)〗^2 )/(n-1)

Seandainya kita mempunyai suatu populasi yang memiliki variansi σ^2 dan rata-rata μ. Dari populasi tersebut misalkan diambil tiga buah sampel secara independent, masing-masing dengan n1, n2, dan n3. Dari setiap sampel tersebut dapat ditentukan rata-rata dan variansinya, sehingga akan diperoleh tiga buah rata-rata dan variansi sampel yang masing-masing merupakan statistik (penaksir) yang tidak bias bagi parameternya. Dikatakan demikian karena, dalam jumlah sampel yang tak hingga, rata-rata dari rata-rata sampel akan sama dengan rata-rata populasi (μ) dan rata-rata dari variansi sampel juga akan sama dengan variansi populasi 〖(σ〗^2).

Ada dua hal yang perlu diperhatikan, yaitu:

Kita memiliki 3 buah variansi sampel (S_i^2) yang masing-masing merupakan penaksir yang tidak bias bagi variansi populasinya. Jika n1=n2=n3=.....=nk, maka seluruh variansi sampel tersebut dapat dijumlahkan dan kemudian dibagi dengan banyaknya sampel (k) sehingga akan diperoleh rata-rata variansi sampel yang dalam jangka panjang akan sama dengan variansi populasi. Dalam bahasa ANAVA, rata-rata variansi sampel ini dikenal dengan rata-rata jumlah kuadrat dalam kelompok (RJKD) atau mean of squares within groups (MSw).

Kita memiliki 3 buah rata-rata sampel yang dapat digunakan untuk menentukan rata-rata dari rata-rata sampel. Simpangan baku distribusi rata-rata sampel (S_X ̅ ) atau galat baku rata-rata adalah simpangan baku distribusi skor dibagi dengan akar pangkat dua dari besarnya sampel.

S_Y ̅ =S_Y/√n

Sejalan dengan itu, variansi distribusi rata-rata sampel 〖S_Y ̅ 〗^2 dapat ditulis sebagai berikut.

〖S_Y ̅ 〗^2=S^2/n

Dengan demikian, S^2sebagai penaksir yang tidak bias bagi variansi populasi akan ekuivalen dengan variansi distribusi rata-rata dikalikan dengan besarnya sampel (n) yang secara aljabar dapat ditulis sebagai berikut.

n〖S_Y ̅ 〗^2=S^2

Dalam konteks ANAVA, n〖S_Y ̅ 〗^2 dikenal dengan sebutan rata-rata jumlah kuadrat antar kelompok (RJKA) atau mean of squares between groups (MSB).

Jika seluruh sampel diambil secara acak dari populasi yang sama, maka

MSB=MSW atau RJKA = RJKD,

Sehingga,

F=MSB/ MSW = σ^2/σ^2 =1

ANAVA digunakan untuk menguji hipotesis nol tentang perbedaan dua buah rata-rata atau lebih. Secara formal, hipotesis tersebut dapat ditulis sebagai berikut.

H_0:μ_1=μ_2=μ_3=⋯.=μ_k

H_1:Paling tidak salah satu tanda sama dengan (=)tidak berlaku

Hipotesis nol di atas  mengatakan bahwa rata-rata populasi pertama sama dengan rata-rata populasi ke dua dan seterusnya yang berarti bahwa seluruh sampel diambil dari populasi yang sama. Jika demikian maka, rata-ratanya akan mirip satu sama lain. Dalam menguji hipotesis nol tersebut, ANAVA meakukan perbandingan antara variansi antar kelompok (MSB) dengan variansi dalam kelompok (MSW). Jika ternyata kedua variansi itu sama (F=1) maka berarti seluruh sampel yang dianalisis berasal dari populasi yang sama, dan kita tidak memiliki dasar untuk menolak hipotesis nol. Namun, jika ada salah satu nilai rata-rata yang jauh berbeda dengan nilai rata-rata lainnya maka berarti sampel tersebut berasal dari populasi yang berbeda.

Seluruh subjek yang berada dalam satu kelompok memiliki karakteristik yang sama pada peubah bebas yang tengah dikaji. Dalam bahasa eksperimen, mereka seluruhnya menerima perlakuan yang sama, sehingga keragaman mereka pada peubah terikat dipandanga sebagai keragaman galat dan tidak berkaitan dengan perbedaan jenis perlakuan atau peubah bebas.

Perbedaan rata-rata antar kelompok terdiri atas dua unsur yaitu keragaman galat dan keragaman yang berkaitan perbedaan pada peubah bebas. Oleh karena keragaman di dalam kelompok (MSW) merupakan penaksir yang tidak bias atas variansi populasi dan keragaman antara kelompok (MSB) terdiri atas MSW dan keragaman yang berkaitan dengan perlakuan, maka hubungan antara keduanya dapat dituliskan sebagai berikut:

MS_W=σ^2

MS_B=σ^2+dampak perlakuan

Dengan demikian, F dapat juga dituliskan:

F=MS_B/MS_W

F=(σ^2+dampak perlakuan)/σ^2

Jika dampak perlakuan sama dengan nol, maka

F=σ^2/σ^2 =1

Persoalan kita sekarang adalah bagaimana membedakan pengaruh yang sistematik dari pengaruh yang tidak sistematik (acak). ANAVA dan statistika inferensial pada umumnya mendekati persoalan ini dengan menggunakan teori peluang. Statistika inferensial bertugas untuk menjawab suatu pertanyaan yang dapat dirumuskan sebagai berikut: :” jika hipotesis nol ternyata benar berapakah peluang memperoleh harga statistik tertentu?” Misalkan dalam ANAVA, kita memperoleh F=3,96. Pertanyaan yang harus dijawab adalah “berapa besar peluang memperoleh F=3,96 jika ternyata hipotesis nol itu benar?” Paket analisis statistik pada komputer umumnya memberikan jawaban terhadap pertanyaan tersebut secara langsung dalam bentuk p= 0,25, 0,01, 0,001 dan sebagainya. namun jika dilakukan secara manual maka harga Fhitung harus dibandingkan dengan nilai kritis yang sudah disediakan dalam bentuk Ftabel pada derajat kebebasan dan tingkat keyakinan. Nilai p yang lebih kecil dari nilai yang ditentukan menunjukkan penolakkan terhadap H0. Kesimpulan yang sama diperoleh jika ternyata Fhitung>Ftabel. Menolak hipotesis nol berarti menyimpulkan bahwa perbedaan antara MSB dengan MSW berkaitan dengan pengaruh yang sistematik dari faktor atau peubah bebas yang diteliti. (Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Cetakan ketujuh. ALFABETA: Bandung).

Anova Satu Arah

Dinamakan analisis varians satu arah, karena analisisnya menggunakan varians dan data hasil pengamatan merupakan pengaruh satu faktor.Dari tiap populasi secara independen kita ambil sebuah sampel acak, berukuran n1 dari populasi kesatu, n2 dari populasi kedua dan seterusnya berukuran nk dari populasi ke k. Data sampel akan dinyatakan dengan Yij yang berarti data ke-j dalam sampel yang diambil dari populasi ke-i. ( Sudjana.1996.Metoda Statistika.Bandung:Tarsito Bandung).

ANAVA satu jalur yaitu analisis yang melibatkan hanya satu peubah bebas. Secara rinci, ANAVA satu jalur digunakan dalam suatu penelitian yang memiliki ciri-ciri berikut:1. Melibatkan hanya satu peubah bebas dengan dua kategori atau lebih yang dipilih dan ditentukan oleh peneliti secara tidak acak. Kategori yang dipilih disebut tidak acak karena peneliti tidak bermaksud menggeneralisasikan hasilnya ke kategori lain di luar yang diteliti pada peubah itu. Sebagai contoh, peubah jenis kelamin hanya terdiri atas dua ketgori (pria-wanita), atau peneliti hendak membandingkan keberhasilan antara Metode A, B, dan C dalam meningkatkan semangat belajar tanpa bermaksud menggeneralisasikan ke metode lain di luar ketiga metode tersebut.

Perbedaan antara kategori atau tingkatan pada peubah bebas dapat bersifat kualitatif atau kuantitatif.

Setiap subjek merupakan anggota dari hanya satu kelompok pada peubah bebas, dan dipilih secara acak dari populasi tertentu.(Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Cetakan ketujuh. ALFABETA: Bandung) 

Tujuan dari uji anova satu jalur adalah untuk membandingkan lebih dari dua rata-rata. Sedangkan gunanya untuk menguji kemampuan generalisasi. Maksudnya dari signifikansi hasil penelitian. Jika terbukti berbeda berarti kedua sampel tersebut dapat digeneralisasikan (data sampel dianggap dapat mewakili populasi). Anova satu jalur dapat melihat perbandingan lebih dari dua kelompok data.(Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta)

Anova pengembangan atau penjabaran lebih lanjut dari uji-t ( t_hitung) .Uji-t atau uji-z hanya dapat melihat perbandingan dua kelompok data saja. Sedangkan anova satu jalur lebih dari dua kelompok data. Contoh: Perbedaan prestasi belajar statistika antara mahasiswa tugas belajar (X_1), izin belajar (X_2) dan umum (X_3).

Anova lebih dikenal dengan uji-F (Fisher Test), sedangkan arti variasi atau varian itu asalnya dari pengertian konsep “Mean Square” atau kuadrat rerata (KR).

Rumusnya :

KR = JK/db

Dimana: JK = jumlah kuadrat (some of square)

db  = derajat bebas (degree of freedom)

Menghitung nilai Anova atau F ( F_hitung) dengan rumus :

F_hitung= V_A/V_D  = 〖KR〗_A/〖KR〗_D = (〖JK〗_A: 〖db〗_A)/(〖JK〗_D: 〖db〗_D ) = (varian antar group)/(varian antar group)

Varian dalam group dapat juga disebut Varian Kesalahan (Varian Galat). Dapat

dirumuskan :

〖JK〗_A = ∑ 〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai -〖(∑X_τ)〗^2/N untuk 〖db〗_A= A-1

〖JK〗_D=〖(∑X_τ)〗^2-∑〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai  untuk 〖db〗_D=N-A

Dimana

〖(∑X_τ)〗^2/N = sebagai faktor koreksi

N = Jumlah keseluruhan sampel (jumlah kasus dalam penelitian).

A = Jumlah keseluruhan group sampel.

Langkah-langkah Anova Satu Arah

Prosedur Uji Anova Satu Arah

Sebelum anova dihitung, asumsikan bahwa data dipilih secara

random,berdistribusi normal, dan variannya homogen.

Buatlah hipotesis (H_a dan H_0) dalam bentuk kalimat.

Buatlah hipotesis (H_a dan H_0)dalam bentuk statistik.

Buatlah daftar statistik induk.

Hitunglah jumlah kuadrat antar group (〖JK〗_A) dengan rumus :

〖JK〗_A = ∑ 〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai -〖(∑X_τ)〗^2/N=((∑X_A1 )^2/n_A1 +(∑X_A2 )^2/n_A2 +(∑X_A3 )^2/n_A3 )-〖(∑X_τ)〗^2/N

Hitunglah derajat bebas antar group dengan rumus : 〖db〗_A= A-1

Hitunglah kudrat rerata antar group (〖KR〗_A) dengan rumus : 〖KR〗_A = 〖JK〗_A/〖db〗_A 

Hitunglah jumlah kuadrat dalam antar group (〖JK〗_D) dengan rumus :

〖JK〗_D=〖(∑X_τ)〗^2-∑〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai 

=∑〖X^2〗_A1+=∑〖X^2〗_A2+=∑〖X^2〗_A3-((∑X_A1 )^2/n_A1 +(∑X_A2 )^2/n_A2 +(∑X_A3 )^2/n_A3 )

Hitunglah derajat bebas dalam group dengan rumus : 〖db〗_D=N-A

Hitunglah kuadrat rerata dalam antar group (〖KR〗_D) dengan rumus : 〖KR〗_D = 〖JK〗_D/〖db〗_D 

Carilah F_hitung dengan rumus : F_hitung=〖KR〗_A/〖KR〗_D 

Tentukan taraf signifikansinya, misalnya α = 0,05 atau α = 0,01

Cari F_tabel dengan rumus : F_tabel=F_((1-α)(〖db〗_A,〖db〗_D))

Buat Tabel Ringkasan Anova

TABEL RINGKASSAN ANOVA SATU ARAH

Sumber

Varian (SV) Jumlah Kuadrat

(JK) Derajat

bebas (db) Kuadrat

Rerata

(KR) F_hitung Taraf

Signifikan

(ρ)

Antar group

(A) ∑ 〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai -〖(∑X_τ)〗^2/N A-1 〖JK〗_A/〖db〗_A 〖KR〗_A/〖KR〗_D α

Dalam group

(D) 〖(∑X_τ)〗^2-∑〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai N-A 〖JK〗_D/〖db〗_D - -

Total 〖(∑X_τ)〗^2-〖(∑X_τ)〗^2/N N-1 - - -

Tentukan kriteria pengujian : jika F_hitung≥F_tabel, maka tolak H_0berarti signifan dan konsultasikan antara F_hitungdengan F_tabelkemudian bandingkan

Buat kesimpulan.

Contoh Soal dan Pembahasan

Seorang ingin mengetahui perbedaan prestasi belajar untuk mata kuliah dasar-dasar statistika antara mahassiswa tugas belajar, izin belajarn dan umum.

Data diambil dari nilai UTS sebagai berikut :

Tugas belajar (A_1) = 6 8 5 7 7 6 6 8 7 6 7 = 11 orang

Izin belajar (A_2) = 5 6 6 7 5 5 5 6 5 6 8 7 = 12 orang

Umum (A_3) = 6 9 8 7 8 9 6 6 9 8 6 8 = 12 orang

Buktikan apakah ada perbedaan atau tidak?

LANGKAH-LANGKAH MENJAWAB :

Diasumsikan bahwa data dipilih secara random, berdistribusi normal, dan variannya homogen.

Hipotesis (H_a dan H_0) dalam bentuk kalimat.

H_a= Terdapat perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

H_0= Tidak ada perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

Hipotesis (H_a dan H_0) dalam bentuk statistic

H_a: A_1 ≠ A_2= A_3 H_a: A_1 ≠ A_2= A_3

Daftar statistik induk

NILAI UTS

NO A_1 A_2 A_3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 6

8

5

7

7

6

6

8

7

6

7

- 5

6

6

7

5

5

5

6

5

6

8

7 6

9

8

7

8

9

6

6

9

8

6

8

STATISTIK TOTAL(T)

n 11 12 12 N=35

∑x 73 71 90 234

∑x^2 943 431 692 1616

X ̅ 6,64 5,92 7,5 6,69

〖(∑x)〗^2/nA 484,45 420,08 675 1564,46

Varians (S^2) 0,85 0,99 1,55 1,33

Menghitung jumlah kuadrat antar group (〖JK〗_A) dengan rumus :

〖JK〗_A = ∑ 〖(∑X_Ai)〗^2/n_Ai -〖(∑X_τ)〗^2/N

=(((〖73)〗^2)/11+((〖71)〗^2)/11+((〖90)〗^2)/12)-((〖234)〗^2)/35=1579,53 - 1564,46 15,07

Hitunglah derajat bebas antar group dengan rumus :

〖db〗_A= A − 1 = 3 – 1 = 2 A = jumlah group A

Hitunglah kudrat rerata antar group (〖KR〗_A) dengan rumus :

〖KR〗_A = 〖JK〗_A/〖db〗_A =15,07/2=7,54

Hitunglah jumlah kuadrat dalam antar group (〖JK〗_D) dengan rumus :

〖JK〗_D=(∑X_τ )^2-∑(∑X_Ai )^2/n_Ai =(493+431+692)-(((〖73)〗^2)/11+((〖71)〗^2)/11+((〖90)〗^2)/12)

=1616-1579,53=36,47

Hitunglah derajat bebas dalam group dengan rumus :

〖db〗_D=N-A=35-3=32

Hitunglah kuadrat rerata dalam antar group (〖KR〗_D) dengan rumus : 

〖KR〗_D = 〖JK〗_D/〖db〗_D =36,47/32=1,14

Carilah F_hitung dengan rumus :

F_hitung=〖KR〗_A/〖KR〗_D =7,54/1,14=6,61

Tentukan taraf signifikansinya, misalnya α = 0,05 

Cari F_tabel dengan rumus :

F_tabel=F_((1-α)(〖db〗_A,〖db〗_D))

F_tabel=F_(1-0,05)(2,32) 

F_tabel=F_((0,95)(2,32))

F_tabel=3,30

Cara mencari : Nilai F_tabel=3,30 dan arti angka F_tabel=F_((0,95)(2,32))

0,95 = Taraf kepercayaan 95% atau taraf signifikan 5%.

Angka 2 = pembilang atau hasil dari 〖db〗_A

Angka 32 = penyebut atau hasil dari 〖db〗_D

Apabila angka 2 dicari ke kanan dan angka 32 ke bawah maka akan bertemu

dengan nilai F_tabel=3,30 . Untuk taraf signifikansi 5% dipilih pada bagian atas dan 1% dipilih pada bagian bawah.

Buat Tabel Ringkasan Anova

TABEL

RINGKASSAN ANOVA SATU JALUR

Sumber

Varian (SV) Jumlah Kuadrat

(JK) Derajat

bebas (db) Kuadrat

Rerata

(KR) F_hitung Taraf

Signifikan

(ρ)

Antar group

(A) 15,07 2 7,54 6,61 <0,05

F_tabel=3,30

Dalam group

(D)

36,47 32 1,14 - -

Total

51,54 54 - - -

Tentukan kriteria pengujian : jika F_hitung≥F_tabel, maka tolak H_0berarti signifan.

Setelah konsultasikan dengan tabel F kemudian bandingkan antara F_hitungdengan F_tabel ,ternyata : F_hitung>F_tabelatau 6,61 > 3,30 maka tolak H_0berarti signifan.

Kesimpulan

H_0ditolak dan H_aditerima. Jadi, terdapat perbedaan yang signifikan antara mahasiswa tugas belajar, izin belajar dan umum.

Contoh 2

Sebuah penelitian dilakukan untuk mengetahui apakah ada pengaruh perbedaan metode belajar pada tingkat prestasi siswa. Ada tiga metode belajar yang akan diuji. Diambil sampel masing-masing 5 guru untuk mengerjakan pekerjaannya, lalu dicata waktu yang digunakan (menit) sebagai berikut:

Metode 1 (menit) Metode 2 (menit) Metode 3 (menit)

21 17 31

27 25 28

29 20 22

23 15 30

25 23 24

Ujilah dengan α = 0,05 apakah ada pengaruh perbedaan metode belajar pada waktu yang digunakan?

Penyelesaian :

Metode 1 (menit) Metode 2 (menit) Metode 3 (menit)

21 17 31

27 25 28

29 20 22

23 15 30

25 23 24

T1 = 125 T2 = 100 T3 = 135

Dari tabel di atas bisa dihitung

Total keseluruhan nilai = 360

JKK = 〖125〗^2/5+ 〖100〗^2/5+ 〖135〗^2/5- 〖360〗^2/15=130

JKT = 〖21〗^2+ 〖27〗^2+ …+〖24〗^2- 〖360〗^2/15=298

JKS = 298 – 130 = 168

Tabel ANOVA

Sumber Derajat Jumlah Varian Fhitung Ftabel

Keragaman Bebas Kuadrat (Ragam)

AntarKolom 2 130 65 4,64 F(2,12) = 3,89

Sisaan 12 168 14

14 298

Pengujian Hipotesis

H_0= μ_1= μ_2=⋯= μ_k

H_a : Tidak semuanya sama(setidaknya ada μ_i  ≠ μ_j  untuk i ≠j)

Statistik Uji = Fhitung = 4,64

Karena Fhitung> Ftabel maka tolak Ho

Kesimpulan: Ada pengaruh perbedaan metode kerja pada waktu yang digunakan.

Daftar Pustaka

Sudjana.1996.Metoda Statistika.Bandung:Tarsito Bandung

Usman,Husaini.2006.Pengantar Statistika.Jakarta:PT Bumi Aksara

Riduwan.2008.Dasar-dasar Statistika.Bandung:Alfabeta

Furqon. 2009. Statistika Terapan untuk Penelitian. Cetakan ketujuh. ALFABETA: Bandung.